Computing Node Polynomials for Plane Curves
Résumé
According to the Göttsche conjecture (now a theorem), the degree $N^{d, \delta}$ of the Severi variety of plane curves of degree $d$ with $\delta$ nodes is given by a polynomial in $d$, provided $d$ is large enough. These "node polynomials'' $N_{\delta} (d)$ were determined by Vainsencher and Kleiman―Piene for $\delta \leq 6$ and $\delta \leq 8$, respectively. Building on ideas of Fomin and Mikhalkin, we develop an explicit algorithm for computing all node polynomials, and use it to compute $N_{\delta} (d)$ for $\delta \leq 14$. Furthermore, we improve the threshold of polynomiality and verify Göttsche's conjecture on the optimal threshold up to $\delta \leq 14$. We also determine the first 9 coefficients of $N_{\delta} (d)$, for general $\delta$, settling and extending a 1994 conjecture of Di Francesco and Itzykson.
Selon la Conjecture de Göttsche (maintenant un Théorème), le degré $N^{d, \delta}$ de la variété de Severi des courbes planes de degré $d$ avec $\delta$ noeuds est donné par un polynôme en $d$, pour $d$ assez grand. Ces $\textit{polynômes de nœuds}$ $N_{\delta} (d)$ ont été déterminés par Vainsencher et Kleiman―Piene pour $\delta \leq 6$ et $\delta \leq 8$, respectivement. S'appuyant sur les idées de Fomin et Mikhalkin, nous développons un algorithme explicite permettant de calculer tous les polynômes de nœuds, et l'utilisons pour calculer $N_{\delta} (d)$, pour $\delta \leq 14$. De plus, nous améliorons le seuil de polynomialité et vérifions la Conjecture de Göttsche sur le seuil optimal jusqu'à $\delta \leq 14$. Nous déterminons aussi les 9 premiers coéfficients de $N_{\delta} (d)$, pour un $\delta$ quelconque, confirmant et étendant la Conjecture de Di Francesco et Itzykson de 1994.
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