Weighted branching formulas for the hook lengths
Résumé
The famous hook-length formula is a simple consequence of the branching rule for the hook lengths. While the Greene-Nijenhuis-Wilf probabilistic proof is the most famous proof of the rule, it is not completely combinatorial, and a simple bijection was an open problem for a long time. In this extended abstract, we show an elegant bijective argument that proves a stronger, weighted analogue of the branching rule. Variants of the bijection prove seven other interesting formulas. Another important approach to the formulas is via weighted hook walks; we discuss some results in this area. We present another motivation for our work: $J$-functions of the Hilbert scheme of points.
La formule bien connue de la longueur des crochets est une conséquence simple de la règle de branchement des longueurs des crochets. La preuve la plus répandue de cette règle est de nature probabiliste et est due à Greene-Njenhuis-Wilf. Elle n'est toutefois pas complètement combinatoire et une simple bijection a été pendant longtemps un problème ouvert. Dans ce résumé étendu, nous proposons un argument bijectif élégant qui démontre une version à poids plus forte de cette règle. Des variantes de cette bijection permettent d'obtenir sept autres formules intéressantes. Une autre approche importante de ces formules est via les marches des crochets à poids. Nous discutons certains résultats dans cette direction. Enfin, nous présentons aussi une autre motivation à l'origine de ce travail: les $J$-fonctions du schéma d'Hilbert des points.
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