The cluster and dual canonical bases of Z [x_11, ..., x_33] are equal - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Communication Dans Un Congrès Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Année : 2010

The cluster and dual canonical bases of Z [x_11, ..., x_33] are equal

Résumé

The polynomial ring $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ has a basis called the dual canonical basis whose quantization facilitates the study of representations of the quantum group $U_q(\mathfrak{sl}3(\mathbb{C}))$. On the other hand, $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ inherits a basis from the cluster monomial basis of a geometric model of the type $D_4$ cluster algebra. We prove that these two bases are equal. This extends work of Skandera and proves a conjecture of Fomin and Zelevinsky. This also provides an explicit factorization of the dual canonical basis elements of $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ into irreducible polynomials.
L'anneau de polynômes $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ a une base appelée base duale canonique, et dont une quantification facilite l'étude des représentations du groupe quantique $U_q(\mathfrak{sl}3(\mathbb{C}))$. D'autre part, $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ admet une base issue de la base des monômes d'amas de l'algèbre amassée géométrique de type $D_4$. Nous montrons que ces deux bases sont égales. Ceci prolonge les travaux de Skandera et démontre une conjecture de Fomin et Zelevinsky. Ceci fournit également une factorisation explicite en polynômes irréductibles des éléments de la base duale canonique de $\mathbb{Z}[x_{11}, . . . , x_{33}]$ .
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hal-01186255 , version 1 (24-08-2015)

Identifiants

Citer

Brendon Rhoades. The cluster and dual canonical bases of Z [x_11, ..., x_33] are equal. 22nd International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2010), 2010, San Francisco, United States. pp.995-1006, ⟨10.46298/dmtcs.2827⟩. ⟨hal-01186255⟩

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