Matrix Ansatz, lattice paths and rook placements
Résumé
We give two combinatorial interpretations of the Matrix Ansatz of the PASEP in terms of lattice paths and rook placements. This gives two (mostly) combinatorial proofs of a new enumeration formula for the partition function of the PASEP. Besides other interpretations, this formula gives the generating function for permutations of a given size with respect to the number of ascents and occurrences of the pattern $13-2$, the generating function according to weak exceedances and crossings, and the $n^{\mathrm{th}}$ moment of certain $q$-Laguerre polynomials.
Nous donnons deux interprétations combinatoires du Matrix Ansatz du PASEP en termes de chemins et de placements de tours. Cela donne deux preuves (presque) combinatoires d'une nouvelle formule pour la fonction de partition du PASEP. Cette formule donne aussi par exemple la fonction génératrice des permutations de taille donnée par rapport au nombre de montées et d'occurrences du motif $13-2$, la fonction génératrice par rapport au nombre d'excédences faibles et de croisements, et le $n^{\mathrm{ième}}$ moment de certains polynômes de $q$-Laguerre.
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