A max-flow algorithm for positivity of Littlewood-Richardson coefficients
Résumé
Littlewood-Richardson coefficients are the multiplicities in the tensor product decomposition of two irreducible representations of the general linear group $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$. They have a wide variety of interpretations in combinatorics, representation theory and geometry. Mulmuley and Sohoni pointed out that it is possible to decide the positivity of Littlewood-Richardson coefficients in polynomial time. This follows by combining the saturation property of Littlewood-Richardson coefficients (shown by Knutson and Tao 1999) with the well-known fact that linear optimization is solvable in polynomial time. We design an explicit $\textit{combinatorial}$ polynomial time algorithm for deciding the positivity of Littlewood-Richardson coefficients. This algorithm is highly adapted to the problem and it is based on ideas from the theory of optimizing flows in networks.
Les coefficients de Littlewood-Richardson sont les multiplicités dans la décomposition du produit tensoriel de deux représentations irréductibles du groupe général linéaire $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$. Ces coefficients ont plusieurs interprétations en combinatoire, en théorie des représentations et en géométrie. Mulmuley et Sohoni ont observé qu'on peut décider si un coefficient de Littlewood-Richardson est positif en temps polynomial. C'est une conséquence de la propriété de saturation des coefficients de Littlewood-Richardson (démontrée par Knutson et Tao en 1999) et le fait bien connu que la programmation linéaire est possible en temps polynomial. Nous décrivons un algorithme $\textit{combinatoire}$ pour décider si un coefficient de Littlewood-Richardson est positif. Cet algorithme est bien adapté au problème et il utilise des idées de la théorie des flots maximaux sur des réseaux.
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