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Conference Papers Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Year : 2009

On the Monotone Column Permanent conjecture

Abstract

We discuss some recent progress on the Monotone Column Permanent (MCP) conjecture. We use a general method for proving that a univariate polynomial has real roots only, namely by showing that a corresponding multivariate polynomial is stable. Recent connections between stability of polynomials and the strong Rayleigh property revealed by Brändén allows for a computationally feasible check of stability for multi-affine polynomials. Using this method we obtain a simpler proof for the $n=3$ case of the MCP conjecture, and a new proof for the $n=4$ case. We also show a multivariate version of the stability of Eulerian polynomials for $n \leq 5$ which arises as a special case of the multivariate MCP conjecture.
Nous présentons des développements récents concernant la conjecture Monotone Column Permanent (MCP). Nous utilisons une méthode générale pour prouver qu’un polynôme univarié a uniquement des racines réelles, c’est-à-dire que nous prouvons qu’un polynôme correspondant a plusieurs variables est stable. Les nouveaux liens, établis par Brändén, entre la stabilité des polynômes et la propriété forte de Rayleigh, permettent de vérifier facilement la stabilité de polynômes multi-affines. En utilisant cette méthode nous obtenons une preuve plus simple pour la conjecture MCP pour le cas $n=3$, et la première preuve pour le cas $n=4$. Nous présentons également une version multivariée de stabilité des polynômes d’Euler pour le cas $n \leq 5$, qui apparaît comme un cas spécial de la conjecture MCP multivariée.
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Dates and versions

hal-01185436 , version 1 (20-08-2015)

Identifiers

Cite

James Haglund, Mirkó Visontai. On the Monotone Column Permanent conjecture. 21st International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2009), 2009, Hagenberg, Austria. pp.443-454, ⟨10.46298/dmtcs.2743⟩. ⟨hal-01185436⟩

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