A preorder-free construction of the Kazhdan-Lusztig representations of $S_n$, with connections to the Clausen representations
Résumé
We use the polynomial ring $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$ to modify the Kazhdan-Lusztig construction of irreducible $S_n$-modules. This modified construction produces exactly the same matrices as the original construction in [$\textit{Invent. Math}$ $\mathbf{53}$ (1979)], but does not employ the Kazhdan-Lusztig preorders. We also show that our modules are related by unitriangular transition matrices to those constructed by Clausen in [$\textit{J. Symbolic Comput.}$ $\textbf{11}$ (1991)]. This provides a $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$-analog of results of Garsia-McLarnan in [$\textit{Adv. Math.}$ $\textbf{69}$ (1988)].
Nous utilisons l'anneau $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$ pour modifier la construction Kazhdan-Lusztig des modules-$S_n$ irréductibles dans $\mathbb{C}[S_n]$. Cette construction modifiée produit exactement les mêmes matrices que la construction originale dans [$\textit{Invent. Math}$ $\mathbf{53}$ (1979)], mais sans employer les préordres de Kazhdan-Lusztig. Nous montrons aussi que nos modules sont reliés par des matrices unitriangulaires aux modules construits par Clausen dans [$\textit{J. Symbolic Comput.}$ $\textbf{11}$ (1991)]. Ce résultat donne un $\mathbb{C}[x_{1,1},\ldots,x_{n,n}]$-analogue des résultats de Garsia-McLarnan dans [$\textit{Adv. Math.}$ $\textbf{69}$ (1988)].
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