New combinatorial computational methods arising from pseudo-singletons
Résumé
Since singletons are the connected sets, the species $X$ of singletons can be considered as the combinatorial logarithm of the species $E(X)$ of finite sets. In a previous work, we introduced the (rational) species $\widehat{X}$ of pseudo-singletons as the analytical logarithm of the species of finite sets. It follows that $E(X) = \exp (\widehat{X})$ in the context of rational species, where $\exp (T)$ denotes the classical analytical power series for the exponential function in the variable $T$. In the present work, we use the species $\widehat{X}$ to create new efficient recursive schemes for the computation of molecular expansions of species of rooted trees, of species of assemblies of structures, of the combinatorial logarithm species, of species of connected structures, and of species of structures with weighted connected components.
Puisque les singletons sont les ensembles connexes, l'espèce $X$ des singletons peut être considérée comme le logarithme combinatoire de l'espèce $E(X)$ des ensembles finis. Dans un travail antérieur, nous avons introduit l'espèce (rationnelle) $\widehat{X}$ des pseudo-singletons comme étant le logarithme analytique de l'espèce des ensembles finis. Il en découle que $E(X) = \exp (\widehat{X})$ dans le contexte des espèces rationnelles, où $\exp (T)$ désigne la série de puissances analytique classique de la fonction exponentielle dans la variable $T$. Dans le présent travail, nous utilisons l'espèce $\widehat{X}$ pour créer de nouveaux schémas computationnels récursifs efficaces pour le calcul du développement moléculaire de l'espèce des arborescences, d'espèces d'assemblées de structures, de l'espèce du logarithme combinatoire, d'espèces de structures connexes, et d'espèces de structures à composantes connexes pondérées.
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