Multi-triangulations as complexes of star polygons
Résumé
A $k$-triangulation of a convex polygon is a maximal set of diagonals so that no $k+1$ of them mutually cross. $k$-triangulations have received attention in recent literature, with motivation coming from several interpretations of them. We present a new way of looking at $k$-triangulations, where certain star polygons naturally generalize triangles for $k$-triangulations. With this tool we give new, direct proofs of the fundamental properties of $k$-triangulations (number of edges, definition of flip). This interpretation also opens up new avenues of research that we briefly explore in the last section.
Une $k$-triangulation d'un polygone convexe est un ensemble maximal de diagonales ne contenant pas $k+1$ arêtes qui se croisent deux à deux. Les $k$-triangulations ont été récemment étudiées sous divers aspects dans la littérature. On présente ici un nouveau point de vue sur les $k$-triangulations, en introduisant certains polygones étoilés comme généralisation des triangles pour les $k$-triangulations. En utilisant ce nouvel outil, on donne des preuves directes des propriétés fondamentales des $k$-triangulations (nombre d'arêtes, définition du flip). Notre point de vue ouvre par ailleurs de nouveaux horizons de recherche que l'on présente rapidement dans la dernière partie.
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