Families of prudent self-avoiding walks
Résumé
A self-avoiding walk on the square lattice is $\textit{prudent}$, if it never takes a step towards a vertex it has already visited. Préa was the first to address the enumeration of these walks, in 1997. For 4 natural classes of prudent walks, he wrote a system of recurrence relations, involving the length of the walks and some additional "catalytic'' parameters. The generating function of the first class is easily seen to be rational. The second class was proved to have an algebraic (quadratic) generating function by Duchi (FPSAC'05). Here, we solve exactly the third class, which turns out to be much more complex: its generating function is not algebraic, nor even $D$-finite. The fourth class ―- general prudent walks ―- still defeats us. However, we design an isotropic family of prudent walks on the triangular lattice, which we count exactly. Again, the generating function is proved to be non-$D$-finite. We also study the end-to-end distance of these walks and provide random generation procedures.
Un chemin auto-évitant sur le réseau carré est $\textit{prudent}$, s'il ne fait jamais un pas en direction d'un point qu'il a déjà visité. Préa est le premier à avoir cherché à énumérer ces chemins, en 1997. Pour 4 classes naturelles de chemins prudents, il donne un système de relations de récurrence, impliquant la longueur des chemins et plusieurs paramètres "catalytiques'' supplémentaires. La première classe a une série génératrice simple, rationnelle. La deuxième a une série algébrique (quadratique) (Duchi, FPSAC'05). Nous comptons ici les chemins de la troisième classe, et observons un saut de complexité: la série obtenue n'est ni algébrique, ni même différentiellement finie. La quatrième classe, celle des chemins prudents généraux, résiste encore. Cependant, nous définissons un modèle isotrope de chemins prudents sur réseau triangulaire, que nous résolvons de nouveau, la série obtenue n'est pas différentiellement finie. Nous étudions aussi la vitesse d'éloignement de ces chemins, et proposons des algorithmes de génération aléatoire.
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