\title{Relativité générale hypercomplèxe}
\author{Laurent Besson}
\date{1998} Ce document tapé initialement en 1998 a été le travail effectué sur une période de 1996 à 1998. Celui-ci été ré-écrit en janvier et février 2015 en raison de la perte des sources du document et dans le but de pouvoir le publier. Lors de sa ré-écriture le document à été corrigé et amélioré afin d'être le plus compréhensible possible. N'ayant jamais publié, je ne sais pas quels sont les standards attendus afin que le document soit conforme à ces attentes.
Le présent document tente une approche peut-être explorée par ailleurs, une approche simple qui est le remplacement des coordonnées du quadri-vecteur réels en coordonnées avec des nombres quaternions (hypercomplèxes). De plus ce document ré-introduit l'idée de M Hermann Weyl, une métrique de jauge sur les longueur. Appelée plus communément <
http://www-cosmosaf.iap.fr/Weyl-Cartan\_{}et\_{}{}la\_{}{}geometrie\_{}{}infinitesimale\_{}{}synthese\_{}{}par\_{}{}E\_{}{}Scholz.pdf}
Si le lien ne fonctionne pas :
http://www-cosmosaf.iap.fr/Weyl-Cartan\_et\_la\_geometrie\_infinitesimale\_synthese\_par\_E\_Scholz.pdf
\maketitle \tableofcontents{}
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1. Définition
La relativité générale hypercomplexe se définie comme la RG mais avec des composantes des quadri-vecteurs hypercomplèxes.
1.1. Définition du quadri-vecteur
$latex {\overrightarrow{V}=\stackrel[\alpha=0]{3}{\sum}V^{\alpha}.\overrightarrow{e_{\alpha}}}&fg=000000$ où $latex {\alpha\in\{0,1,2,3\}}&fg=000000$ et les composantes de $latex {V^{\alpha}}&fg=000000$ sont des nombres quaternions.
1.2. Définition des quaternions
$latex {V^{\alpha}\epsilon\mathbb{H}}&fg=000000$ ensemble des quaternions, noté $latex {\mathbb{H}}&fg=000000$ tel $latex {V^{\alpha}=V^{\alpha i}.h_{i}}&fg=000000$ $latex {i\in\{0,1,2,3\}}&fg=000000$ avec $latex {h_{1}.h_{2}.h_{3}=-1}&fg=000000$, $latex {h_{i}.h_{i}=-1}&fg=000000$ pour $latex {i\neq0}&fg=000000$
Ce qui donne pour un quadri-vecteur hypercomplèxe : $latex {\overrightarrow{V}=\stackrel[\alpha=0]{3}{\sum}\stackrel[i=0]{3}{\sum}V^{\alpha i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}}&fg=000000$ $latex {i\in\{0,1,2,3\}}&fg=000000$ $latex {\alpha\in\{0,1,2,3\}}&fg=000000$
1.3. Notation d'Einstein
Les notations d'Einstein lorsqu'elles sont sans ambiguïtés sont : $latex {\overrightarrow{V}=V^{\alpha}.\overrightarrow{e_{\alpha}}}&fg=000000$ où la somme est sous entendu sur les indices hauts ou bas.
2. Postulat
1er postulat
Le principe d'équivalence reste vrai.
2eme postulat
Les coordonnées de l'espace-temps sont hypercomplèxes (cf : Nombres Quaternions).
3. Notations diverses (dérivées covariantes, anti-commutateur, etc.)
3.1. Dérivée covariante des coordonnées
On note la dérivée covariante par coordonnée : $latex \displaystyle \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}=\frac{\partial}{\partial(x^{\mu i}.h_{i})}=\frac{\partial}{\partial x^{\mu i}.h_{i}+x^{\mu i}.\partial h_{i}} &fg=000000$
Posons $latex \displaystyle \partial h_{i}=H_{i\mu}^{j}.h_{j}.\partial x^{\mu} &fg=000000$
d'où $latex \displaystyle \frac{\partial h_{i}}{\partial x^{\mu}}=H_{i\mu}^{j}.h_{j} &fg=000000$
or $latex \displaystyle \partial x^{\mu}=\partial x^{\mu i}.h_{i}+x^{\mu i}.\partial h_{i} &fg=000000$
donc $latex \displaystyle \frac{\partial h_{i}}{H_{i\mu}^{j}.h_{j}}=\partial x^{\mu i}.h_{i}+x^{\mu i}.\partial h_{i} &fg=000000$
$latex \displaystyle \partial x^{\mu i}.h_{i}=\frac{\partial h_{i}}{H_{i\mu}^{j}.h_{j}}-x^{\mu i}.\partial h_{i}=(\frac{1}{H_{i\mu}^{j}.h_{j}}-x^{\mu i}).\partial h_{i} &fg=000000$
$latex \displaystyle \partial x^{\mu i}.h_{i}.H_{i\mu}^{j}.h_{j}=(1-H_{i\mu}^{j}.h_{j}.x^{\mu i}).\partial h_{i} &fg=000000$
d'où
$latex {\partial h_{i}=\frac{\partial x^{\mu i}.h_{i}.H_{i\mu}^{j}.h_{j}}{(1-H_{i\mu}^{j}.h_{j}.x^{\mu i})}}&fg=000000$ avec $latex {h_{i}.h_{j}=\delta_{ij}^{k}.h_{k}}&fg=000000$ et en introduisant l'opérateur commutateur de la physique quantique :$latex {[h_{i},h_{j}]=h_{i}.h_{j}-h_{j}.h_{i}=h_{i}.h_{j}+h_{i}.h_{j}=2.\delta_{ij}^{k}.h_{k}}&fg=000000$
,h_{j}}=2.\delta_{ij}^{k}.h_{k}
Alors $latex \displaystyle \partial h_{i}=\frac{\partial x^{\mu i}.H_{i\mu}^{j}.\delta_{ij}^{k}.h_{k}}{2.(1-H_{i\mu}^{j}.h_{j}.x^{\mu i})} \ \ \ \ \ (1)&fg=000000$
3.2. Dérivée covariante des $latex {h_{i}}&fg=000000$
$latex \displaystyle \partial_{\mu}h_{i}=H_{\mu i}^{j}.h_{j} &fg=000000$
4. Tenseurs
Nous devons re-définir un certain nombre de grandeurs telle que la courbure, en effet comme nous étendons la définition de quadri-vecteur, la courbure va s'étendre en faisant apparaître des termes supplémentaires. Ceux-ci, et on le constatera, pourront se coupler entre eux.
L'intéret est que nous retrouverons le tenseur courbure de Riemann $latex {R_{\mu\gamma\nu}^{\alpha}}&fg=000000$ et de Ricci $latex {R_{\mu\nu}}&fg=000000$, puis d'autre qui pouront être associés à d'autres champs physiques, qui de plus pourront se coupler entre eux et s'autocoupler.
Pour re-définir ces tenseurs nous devons reprendre les calculs de transport d'un quadri-vecteur, faisant apparaitre bien évidemment les symboles de Christoffel $latex {\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}}&fg=000000$ http://fr.wikipedia.org/wiki/Symboles\_de\_{}Christoffel}, et donc le tenseur de courbure. Mais d'autres tenseurs tels que : $latex {H_{\mu i}^{j}}&fg=000000$ $latex {\Phi_{\mu j}^{i}}&fg=000000$, dont $latex {\Phi_{\mu j}^{i}}&fg=000000$ est le tenseur de \og courbure \fg{} métrique de Weyl http://classiques.uqac.ca/collection\_sciences\_{}nature/fabre\_{}lucien/Nouvelle\_{}figure\_{}du\_{}monde/Nouvelle\_{}figure\_{}du\_{}monde.htm\#{}AppendiceI} (qui fera apparaitre le champ $latex {F_{\mu\nu}}&fg=000000$électromagnétique). Et $latex {H_{\mu i}^{j}}&fg=000000$ qui introduira d'autres tenseurs... Dont la signification physique sera à discuter.
4.1. Transport d'un quadri-vecteur
\includegraphics[scale=2.5]{2110_transport}\protect\caption{transport quadri-vecteur}
Soit $latex {\overrightarrow{X}}&fg=000000$ un quadri-vecteur $latex {x^{\alpha i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}}&fg=000000$
On utilise la jauge d'échelle de Weyl
http://luth2.obspm.fr/$latex {\sim}&fg=000000$luthier/nottale/arLecce.pdf
ou
http://classiques.uqac.ca/collection\_sciences\_{}nature/fabre\_{}lucien/Nouvelle\_{}figure\_{}du\_{}monde/Nouvelle\_{}figure\_{}du\_{}monde.htm\#{}AppendiceI}
$latex \displaystyle x^{\alpha i}=x^{\alpha}.\varphi^{i} &fg=000000$
Soit la dérivée covariante $latex \displaystyle \nabla_{\mu}=\frac{d}{dx^{\mu}} &fg=000000$ $latex \displaystyle \nabla_{\nu}=\frac{d}{dx^{\nu}} &fg=000000$
Nous allons faire le calcul suivant $latex \displaystyle (\nabla_{\mu}.\nabla_{\nu}-\nabla_{\nu}.\nabla_{\mu})\overrightarrow{X} &fg=000000$
Qui est nul dans un espace euclidien sans métrique de Weyl.
Commençons par $latex \displaystyle \nabla_{\mu}\overrightarrow{X}=\partial_{\mu}(x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}})=\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.\partial_{\mu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\mu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}}) &fg=000000$
Avec la définition des symboles de Christoffel $latex \displaystyle \partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}}=\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}} \ \ \ \ \ (2)&fg=000000$
Et avec $latex \displaystyle \partial_{\mu}h_{i}=H_{\mu i}^{j}.h_{j} \ \ \ \ \ (3)&fg=000000$
Puis $latex \displaystyle \partial_{\mu}\varphi^{i}=\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j} \ \ \ \ \ (4)&fg=000000$
$latex \displaystyle \nabla_{\mu}\overrightarrow{X}=\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}) &fg=000000$
On pose $latex \displaystyle \gamma_{\mu}=\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}.\overrightarrow{e^{\alpha}} &fg=000000$
Or on peut invoquer les symbole de Kronecker avec : $latex \displaystyle \overrightarrow{e_{\beta}}.\overrightarrow{e^{\alpha}}=\delta_{\beta}^{\alpha} &fg=000000$
On obtient une quantité indiquant comment ce comporte la connexion dans l'espace utilisé (Riemannien et hypercomplèxe) lors du parcours d'un quadri-vecteur... $latex \displaystyle \gamma_{\mu}=\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha} \ \ \ \ \ (5)&fg=000000$
Donc $latex \displaystyle \nabla_{\mu}\overrightarrow{X}=\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\gamma_{\mu}).\overrightarrow{e_{\alpha}} &fg=000000$
Commençons le calcul $latex {\nabla_{\nu}.\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}}&fg=000000$. $latex \displaystyle \nabla_{\nu}.\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}=\partial_{\nu}(\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\gamma_{\mu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}) &fg=000000$
\begin{multline*} \nabla_{\nu}.\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}=\partial_{\nu}\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
Nous allons former le calcul $latex {\nabla_{\mu}.\nabla_{\nu}\overrightarrow{X}}&fg=000000$.
\begin{multline*} \nabla_{\mu}.\nabla_{\nu}\overrightarrow{X}=\partial_{\mu}\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
Nous devons évaluer $latex {\partial_{\nu}\gamma_{\mu}}&fg=000000$ et $latex {\partial_{\mu}\gamma_{\nu}}&fg=000000$
$latex \displaystyle \partial_{\nu}\gamma_{\mu}=\partial_{\nu}(\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}) \ \ \ \ \ (6)&fg=000000$
\begin{multline*} \partial_{\nu}\gamma_{\mu}=\partial_{\nu}\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}
$latex \displaystyle \partial_{\mu}\gamma_{\nu}=\partial_{\mu}(\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}) \ \ \ \ \ (7)&fg=000000$
\begin{multline*} \partial_{\mu}\gamma_{\nu}=\partial_{\mu}\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}
Formons la différence de transport d'un quadri-vecteur
\begin{multline*} \nabla_{\nu}.\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}-\nabla_{\mu}.\nabla_{\nu}\overrightarrow{X}=\partial_{\nu}\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
Donc avec
$latex {\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}}=\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}}&fg=000000$
$latex {\partial_{\mu}h_{i}=H_{\mu i}^{j}.h_{j}}&fg=000000$
$latex {\partial_{\mu}\varphi^{i}=\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}}&fg=000000$
$latex {\gamma_{\mu}=\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}}&fg=000000$
La différence de transport devient
\begin{multline*} \nabla_{\nu}.\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}-\nabla_{\mu}.\nabla_{\nu}\overrightarrow{X}=
les expressions $latex {\partial_{\nu}\gamma_{\mu}}&fg=000000$ et $latex {\partial_{\mu}\gamma_{\nu}}&fg=000000$ deviennent
\begin{multline*} \partial_{\nu}(\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha})=
\begin{multline*} \partial_{\mu}(\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha})=
Donc $latex {\nabla_{\nu}.\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}-\nabla_{\mu}.\nabla_{\nu}\overrightarrow{X}}&fg=000000$ devient
\begin{multline*} \nabla_{\nu}.\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}-\nabla_{\mu}.\nabla_{\nu}\overrightarrow{X}=\partial_{\nu}\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\partial_{\nu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\nu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\nu}\overrightarrow{e_{\alpha}}
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\partial_{\nu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\nu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\nu}\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\nu}x^{\alpha}.(\gamma_{\mu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}
+x^{\alpha}.(\partial_{\nu}\gamma_{\mu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\gamma_{\mu}).\partial_{\nu}\overrightarrow{e_{\alpha}}) \end{multline*}
+\partial_{\nu}x^{\alpha}.\partial_{\mu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\mu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
+\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\mu}x^{\alpha}.(\gamma_{\nu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}
+x^{\alpha}.(\partial_{\mu}\gamma_{\nu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\gamma_{\nu}).\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}}) \end{multline*}
+\partial_{\nu}\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}
+\partial_{\nu}\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\Phi_{\mu j}^{i}.\partial_{\nu}\varphi^{j}.h_{i}
+\varphi^{i}.\partial_{\nu}H_{\mu i}^{j}.h_{j}
+\varphi^{i}.\partial_{\nu}h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.\partial_{\nu}h_{i}
+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.\partial_{\nu}h_{j}
+\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\nu}\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\partial_{\nu}\delta_{\beta}^{\alpha} \end{multline*}
+\partial_{\mu}\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}
+\partial_{\mu}\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\Phi_{\nu j}^{i}.\partial_{\mu}\varphi^{j}.h_{i}
+\varphi^{i}.\partial_{\mu}H_{\nu i}^{j}.h_{j}
+\varphi^{i}.\partial_{\mu}h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.\partial_{\mu}h_{i}
+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.\partial_{\mu}h_{j}
+\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\mu}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\partial_{\mu}\delta_{\beta}^{\alpha} \end{multline*}
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\partial_{\nu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\nu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\nu}\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\nu}x^{\alpha}.(\gamma_{\mu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}
+x^{\alpha}.(\partial_{\nu}\gamma_{\mu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\gamma_{\mu}).\partial_{\nu}\overrightarrow{e_{\alpha}})
-\partial_{\mu}\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\nu}x^{\alpha}.\partial_{\mu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
+\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\mu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}}
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.(\gamma_{\nu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\partial_{\mu}\gamma_{\nu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}
+x^{\alpha}.(\gamma_{\nu}).\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}}) \end{multline*}
\partial_{\nu}\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\partial_{\nu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\nu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\nu}\overrightarrow{e_{\alpha}}
+\partial_{\nu}x^{\alpha}.(\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}).\overrightarrow{e_{\alpha}}
+x^{\alpha}.\partial_{\nu}(\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}).\overrightarrow{e_{\alpha}}
+x^{\alpha}.(\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}).\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}
-\partial_{\mu}\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
-\partial_{\nu}x^{\alpha}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
-\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
-\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}
-\partial_{\mu}x^{\alpha}.(\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}).\overrightarrow{e_{\alpha}}
-x^{\alpha}.\partial_{\mu}(\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}).\overrightarrow{e_{\alpha}}
-x^{\alpha}.(\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}).\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}} \end{multline*}
\partial_{\nu}\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\partial_{\nu}\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\partial_{\nu}\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\Phi_{\mu j}^{i}.\partial_{\nu}\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.\partial_{\nu}H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.\partial_{\nu}h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.\partial_{\nu}h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.\partial_{\nu}h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\nu}\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\partial_{\nu}\delta_{\beta}^{\alpha} \end{multline*}
\partial_{\mu}\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\partial_{\mu}\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\partial_{\mu}\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\Phi_{\nu j}^{i}.\partial_{\mu}\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.\partial_{\mu}H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.\partial_{\mu}h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.\partial_{\mu}h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.\partial_{\mu}h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\mu}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\partial_{\mu}\delta_{\beta}^{\alpha} \end{multline*}
+x^{\alpha}.[\partial_{\nu}\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\partial_{\nu}\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\partial_{\nu}\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}+\Phi_{\mu j}^{i}.\partial_{\nu}\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.\partial_{\nu}H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.\partial_{\nu}h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.\partial_{\nu}h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.\partial_{\nu}h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\nu}\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}].\overrightarrow{e_{\alpha}}
+x^{\alpha}.(\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}).\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}
-\partial_{\mu}\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}-\partial_{\nu}x^{\alpha}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}-\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}.\overrightarrow{e_{\alpha}}-\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}
-\partial_{\mu}x^{\alpha}.(\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}).\overrightarrow{e_{\alpha}}
-x^{\alpha}.[\partial_{\mu}\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\partial_{\mu}\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\partial_{\mu}\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}+\Phi_{\nu j}^{i}.\partial_{\mu}\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.\partial_{\mu}H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.\partial_{\mu}h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\partial_{\nu}\delta_{\beta}^{\alpha}+\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.\partial_{\mu}h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.\partial_{\mu}h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\mu}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\partial_{\mu}\delta_{\beta}^{\alpha}].\overrightarrow{e_{\alpha}}
-x^{\alpha}.(\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}).\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}} \end{multline*}