A Topological Approach to Recognition - Archive ouverte HAL
Conference Papers Year : 2010

A Topological Approach to Recognition

Abstract

We propose a new approach to the notion of recognition, which departs from the classical definitions by three specific features. First, it does not rely on automata. Secondly, it applies to any Boolean algebra (BA) of subsets rather than to individual subsets. Thirdly, topology is the key ingredient. We prove the existence of a minimum recognizer in a very general setting which applies in particular to any BA of subsets of a discrete space. Our main results show that this minimum recognizer is a uniform space whose completion is the dual of the original BA in Stone-Priestley duality; in the case of a BA of languages closed under quotients, this completion, called the syntactic space of the BA, is a compact monoid if and only if all the languages of the BA are regular. For regular languages, one recovers the notions of a syntactic monoid and of a free profinite monoid. For nonregular languages, the syntactic space is no longer a monoid but is still a compact space. Further, we give an equational characterization of BA of languages closed under quotients, which extends the known results on regular languages to nonregular languages. Finally, we generalize all these results from BAs to lattices, in which case the appropriate structures are partially ordered.
Nous proposons une nouvelle approche de la notion de reconnaissance, qui diffère des définitions classiques par trois aspects particuliers. Tout d'abord, notre approche n'utilise pas du tout les automates. Ensuite, elle s'applique à des algèbres de Boole de parties plutôt qu'à des ensembles pris individuellement. Enfin elle repose sur la topologie. Nous montrons l'existence d'un reconnaisseur minimal dans un cadre très général qui s'applique en particulier à n'importe quelle algèbre de Boole de parties d'un espace discret. Nos résultats principaux montrent que ce reconnaisseur minimal est un espace uniforme dont la complétion est le dual de l'algèbre de Boole considérée pour la dualité de Stone-Priestley. Dans le cas d'une algèbre de Boole de langages fermée par quotient, cette complétion, appelée l'espace syntactique de l'algèbre de Boole, est un monoïde compact si et seulement si tous les langages de l'algèbre de Boole sont reconnaissables. Dans le cas des langages reconnaissables, on retrouve ainsi les notions de monoïde syntactique et de monoïde profini libre. Pour les langages non reconnaissables, l'espace syntactique est toujours un espace compact mais n'est plus un monoïde. Par ailleurs, nous donnons une description équationnelle des algèbres de Boole fermées par quotient, qui étend aux langages non reconnaissables les résultats connus sur les langages reconnaissables. Finalement, nous généralisons tous ces résultats des algèbres de Boole aux treillis, cas dans lequel les structures topologiques sont partiellement ordonnées.

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hal-01101846 , version 1 (09-01-2015)

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Cite

Mai Gehrke, Serge Grigorieff, Jean-Eric Pin. A Topological Approach to Recognition. ICALP 2010, Jul 2010, Bordeaux, France. pp.151 - 162, ⟨10.1007/978-3-642-14162-1_13⟩. ⟨hal-01101846⟩

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