The peaking phenomenon and singular perturbations
Résumé
We study the asymptotic behaviour, when the parameter " tends to 0, of a class of singularly perturbed triangular systems x˙ = f(x, y), y˙ = G(y, "). We assume that all solutions of the second equation tend to zero arbitrarily fast when " tends to 0. We assume that the origin of equation x˙ = f(x, 0) is globally asymptotically stable. Some states of the second equation may peak to very large values, before they rapidly decay to zero. Such peaking states can destabilize the first equation. The paper introduces the concept of instantaneous stability, to measure the fast decay to zero of the solutions of the second equation, and the concept of uniform infinitesimal boundedness to measure the effects of peaking on the first equation. Whe show that all the solutions of the triangular system tend to zero when " ! 0 and t ! +1. Our results are formulated in both classical mathematics and nonstandard analysis.
On étudie le comportement asymptotique, lorsque le paramètre " tend vers 0, de systèmes triangulaires singulièrement perturbés de la forme x˙ = f(x, y), y˙ = G(y, "). On suppose que toutes les solutions de la deuxième équation tendent vers zéro arbitrairement rapidement quand " tend vers 0. On suppose que le système x˙ = f(x, 0) admet l’origine comme équilibre globalement asymptotiquement stable. Certaines solutions de la deuxième équation peuvent présenter un transitoire avec un pic très grand avant de décroître rapidement vers zéro. C’est ce phénomène de peaking qui peut déstabiliser la première équation. On introduit le concept de stabilité instantanée, pour mesurer la décroissance rapide vers zéro des solutions de la deuxième équation, et le concept de système uniformément infinitésimalement borné pour mesurer les effets du peaking sur la première équation. On montre que les solutions du système triangulaire tendent vers zéro quand " ! 0 et t ! +1. Nos résultats sont formulés dans le cadre de l’analyse non standard et sont traduits en termes classiques.
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