Nouvelles avancées dans les méthodes sans maillage : le couplage des techniques des éléments naturels et des moindres carrés mobiles
Résumé
Les méthodes sans maillage basées sur les approximations de type moindres carrés mobiles (Moving Least Squares, MLS), ont été l’objet d’intenses recherches durant la dernière décennie. Ces méthodes incluent les techniques de type Smooth Particle Hydrodynamics, Element Free Galerkin, Diffuse Element Method, Reproducing Kernel Particle Method, parmi d’autres . Cependant, l’un des problèmes de ces méthodes est la difficulté associée à l’imposition des conditions aux limites. Ce problème est du à la nature même de l’approximation MLS. Le support des fonctions de forme, identique à celui des fonctions poids associées, ne coïncide généralement pas avec le bord. Le choix des nœuds voisins est aussi une difficulté. L’approche basée sur la recherche des k voisins les plus proches d’un point d’évaluation conduit seulement à une continuité $C^0$. De plus, la complexité géométrique du support des fonctions de forme introduit des difficultés pour l’intégration numérique. Une technique d’intégration simple et un degré d’approximation arbitraire peuvent être obtenus lorsque les nœuds sont associés à des domaines d’influence fixes, sphériques ou hexaédrique, dont la taille optimale constitue la principale difficulté de cette approche. A l’inverse, l’approximation de type Eléments Naturels (EN) et la méthode numérique associée, la NEM, ne présente pas ces inconvénients.
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