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Thèse Année : 2012

Schémas de Hilbert invariants et théorie classique des invariants

Ronan Terpereau

Résumé

Let W be an affine variety equipped with an action of a reductive group G. The invariant Hilbert scheme is a moduli space which classifies the G-stable closed subschemes of W such that the affine algebra is the direct sum of simple G-modules with previously fixed finite multiplicities. In this thesis, we first study the invariant Hilbert scheme, denoted H. It parametrizes the GL(V)-stable closed subschemes Z of W=n1 V \oplus n2 V^* such that k[Z] is isomorphic to the regular representation of GL(V) as GL(V)-module. If dim(V)<3, we show that H is a smooth variety, so that the Hilbert-Chow morphism \gamma: H -> W//G is a resolution of singularities of the quotient W//G. However, if dim(V)=3, we show that H is singular. When dim(V)<3, we describe H by equations and also as the total space of a homogeneous vector bundle over the product of two Grassmannians. Then we consider the symplectic setting by letting n1=n2 and replacing W by the zero fiber of the moment map \mu: W -> End(V). We study the invariant Hilbert scheme H' which parametrizes the subschemes included in \mu^{-1}(0). We show that H' is always reducible, but that its main component Hp' is smooth if dim(V)<3. In this case, the Hilbert-Chow morphism is a resolution of singularities (sometimes a symplectic one) of the quotient \mu^{-1}(0)//G. When dim(V)=3, we describe Hp' as the total space of a homogeneous vector bundle over a flag variety. Finally, we get similar results when we replace GL(V) by some other classical group (SL(V), SO(V), O(V), Sp(V)) acting first on W=nV, then on the zero fiber of the moment map.
Pour toute variété affine W munie d’une opération d’un groupe réductif G, le schéma de Hilbert invariant est un espace de modules qui classifie les sous-schémas fermés de W, stables par l’opération de G, et dont l’algèbre affine est somme directe de G-modules simples avec des multiplicités finies préalablement fixées. Dans cette thèse, on étudie d’abord le schéma de Hilbert invariant, noté H, qui paramètre les sous-schémas fermés GL(V)-stables Z de W=n1 V \oplus n2 V^* tels que k[Z] est isomorphe à la représentation régulière de GL(V) comme GL(V)-module. Si dim(V)<3, on montre que H est une variété lisse, et donc que le morphisme de Hilbert-Chow \gamma: H -> W//G est une résolution W//G des singularités du quotient. En revanche, si dim(V)=3, on montre que H est singulier. Lorsque dim(V)<3, on décrit H par des équations et aussi comme l’espace total d’un fibré vectoriel homogène au dessus d’un produit de deux grassmanniennes. On se place ensuite dans le cadre symplectique en prenant n1=n2 et en remplaçant W par la fibre en 0 de l’application moment map \mu: W -> End(V). On considère alors le schéma de Hilbert invariant Hs qui paramètre les sous-schémas contenus dans \mu^{-1}(0). On montre que Hs est toujours réductible, mais que sa composante principale Hprins est lisse lorsque dim(V)<3. Dans ce cas, le morphisme de Hilbert-Chow est une résolution (parfois symplectique) des singularités du quotient \mu^{-1}(0)//G. Lorsque dim(V)=3, on décrit Hprins comme l’espace total d’un fibré vectoriel homogène au-dessus d’une variété de drapeaux. Enfin, on obtient des résultats similaires lorsque l’on remplace GL(V) par un autre groupe classique (SL(V), SO(V), O(V), Sp(V)) que l’on fait opérer d’abord dans W=nV, puis dans la fibre en zéro de l’application moment.
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Dates et versions

hal-00749160 , version 1 (07-11-2012)

Identifiants

Citer

Ronan Terpereau. Schémas de Hilbert invariants et théorie classique des invariants. Géométrie algébrique [math.AG]. Université Joseph Fourier - Grenoble, 2012. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨hal-00749160⟩
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