Décomposition de tableaux d'ordre trois semi-nonnégatifs et semi-symétriques
Abstract
Sont proposées dans ce papier deux méthodes numériques de décomposition canonique de tableaux d'ordre 3 semi-nonnégatifs et semi-symétriques, c'est-à-dire possédant deux facteurs matriciels identiques à composantes positives. De tels tableaux d'ordre 3 apparaissent en séparation aveugle de sources lorsque l'on souhaite diagonaliser conjointement par congruence un ensemble de matrices de covariance d'un mélange nonnégatif de sources temporellement corrélées (ou bien non-stationnaires) et spatialement décorrélées. Les deux méthodes décrites sont de type Levenberg-Marquardt (LM) et descente de gradient à pas optimal. Elles prennent en compte non seulement l'égalité mais aussi la nonnégativité de deux des trois facteurs matriciels par un changement de variable carré permettant ainsi de se ramener à un problème d'optimisation sans contraintes. Le calcul du gradient et du jacobien est effectué matriciellement permettant une implémentation efficace des deux méthodes dans un langage de programmation matricielle. Nos simulations montrent un gain en performance de nos méthodes en comparaison de l'algorithme LM n'exploitant aucun a priori notamment pour de faibles valeurs de rapport signal à bruit et des valeurs de rang excédant la plus grande des dimensions.
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