Sur le théorème de Bertrand (d'après Michael Herman)
Résumé
Un point mat{é}riel soumis {á} une force centrale attractive d{é}rivant d'un potentiel poss{é}de une famille {á} un param{é}tre d'orbites p{é}riodiques circulaires. Le th{é}or{é}me de Bertrand affirme que si toutes les orbites voisines de ces orbites circulaires sont p{é}riodiques, le potentiel est newtonien (proportionel {á} $1/r$, o{ú} $r$ est la distance du point au centre attractif) ou {é}lastique (en $r^2$)~\cite{Ber}. Nous calculons, sur une id{é}e initiale de Michael Herman~\cite{Her} et pour un potentiel central g{é}n{é}rique, les deux premiers invariants de Birkhoff du syst{é}me le long des orbites circulaires~; puis nous montrons comment le th{é}or{é}me de Bertrand s'en d{é}duit.