Représentations banales de GL(m,D)
Résumé
Let F be a non-Archimedean locally compact field of residue characteristic p, let D be a finite dimensional central division F-algebra and let R be an algebraically closed field of characteristic different from p. We define banal irreducible R-representations of the group G = GLm(D). This notion involves a condition on the cuspidal support of the representation depending on the characteristic of R. When this characteristic is banal with respect to G, in particular when R is the field of complex numbers, any irreducible R-representation of G is banal. In this article, we give a classification of all banal irreducible R-representations of G in terms of certain multisegments, called banal. When R is the field of complex numbers, our method provides a new proof, entirely local, of Tadi´c’s classification of irreducible complex smooth representations of G.
Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle p, soit D une F-algèbre à division centrale de dimension finie et soit R un corps algébriquement clos de caractéristique différente de p. Nous définissons la notion de R-représentation irréductible banale de G=GL(m,D), notion qui généralise celle de caractéristique banale pour G, et qui repose sur une condition portant sur le support cuspidal de la représentation et dépendant de la caractéristique de R. Lorsque le corps R est de caractéristique banale, en particulier lorsque R est le corps des nombres complexes, toute R-représentation irréductible de G est banale. Nous donnons dans cet article une classification des R-représentations irréductibles banales de G en termes de multisegments dits banals. Lorsque R est le corps des nombres complexes, notre méthode fournit une nouvelle preuve, entièrement locale, de la classification de Tadic des représentations lisses irréductibles complexes de G.
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