Jeux d'inondation dans les graphes
Abstract
Nous généralisons les jeux Flood-It et Mad Virus aux graphes quelconques. Ces jeux sont des casse-têtes où les sommets sont initialement colorés et forment des "zones" : une "zone" est un ensemble connexe de sommets de même couleur. Dans le jeu FLOOD-IT, un sommet s est fixé pour la partie et une étape du jeu consiste à choisir une couleur c et "inonder" la zone contenant s avec cette couleur, c'est à dire donner la couleur c à toute cette zone. Cela entraine la connexion de cette zone à toutes les zones voisines ayant cette couleur. Le but du jeu est de colorer tout le graphe G avec une unique couleur et en un nombre minimum d'étapes flood(G). Ce problème d'inondation est donc un problème d'optimisation combinatoire. Une autre variante FREE-FLOOD-IT laisse à chaque étape le choix de la couleur et de la zone à inonder avec cette couleur. Alors que pour tout graphe avec 2 couleurs au départ le calcul de flood(G) est polynomial, nous montrons que pour la classe très restreinte des arbres, ce calcul est NP-difficile dès 3 couleurs à la fois pour FLOOD-IT et FREE-FLOOD-IT. Pour les cycles par contre, nous montrons que quelque soit le nombre de couleur, le calcul de flood(G) est polynomial pour FLOOD-IT. Nous résolvons aussi un problème ouvert concernant FREE-FLOOD-IT avec 2 couleurs en situant la complexité du calcul de flood(G) : c'est polynomial. Nous faisons aussi le lien avec les travaux précédents qui se sont surtout attachés au jeu sur une grille carrée.
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