Reply-to: | <vcanja@softwin.ro> |
From: | "Viorel Canja" <vcanja@softwin.ro> | Block Address | Add to Address Book |
To: | "'probleme'" <probleme@ldc.ro> |
Subject: | RE: Probleme [solutie???] |
Date: | Thu, 3 May 2001 22:54:17 +0300 |
|
|
> Aaaa. Eu intelesesem complet diferit problema. Ce ziceti de
urmatoarea
> strategie... De vreo doua zile incerc sa demonstrez ca
> probabilitatea tinde
> la 1 dar nu reusesc. Totusi s-ar parea ca tinde la 1.
> Strategia e inductiva:
> daca ai o solutie pentru 2**(k-1)-1 (pornesti cu solutia
> pentru 3), mai
> trebuie sa adaugi 2**k oameni. Pe astia noi, ii pui sa se uite unul
la
> celalalt. Daca cineva dintre ei vede 2**k-1 palarii identice
> (adica toti din
> grup exceptandu-l pe el au aceeasi culoare), spune culoarea
> cealalta. Astfel
> dintre oamenii noi, exista o probabilitate mare sa se abtina
> toti si daca nu
> se abtin, o probabilitate mare sa zica corect (nu mai dau
> formulele, va
> prindeti voi daca vreti sa-mi urmariti calculele). Oamenii vechi (cei
> 2**(k-1)-1) se uita la cei noi si isi dau seama daca toti
> dintrea astia se
> abtin sau nu. Daca nu se abtin toti, ei se abtin obligatoriu.
> Daca se abtin
> toti, se aplica solutia pentru 2**(k-1)-1.
>
> Formulele de recurenta pentru probabilitate sunt nasoale si nu stiu
sa
> elimin recurenta sau sa aflu limita. Am demonstrat numai ca
> probabilitatea
> creste cu k si, fara demonstratie, s-ar parea ca tinde la 1.
> Daca cineva mai
> bun la mate vrea sa incerce, sa ne zica si noua rezultatul.
>
> mihai_p
>
>
Strategia se poate generaliza si se poate dovedi ca in cazul in care
n->inf
atunci probabilitatea -> 1.
Deci:
avem o strategie pt n1 oameni care ne da probabilitatea de castig p1
atunci daca mai adugam n persoane si aplicam strategia descrisa mai sus
probabilitatea de castig p2 pentru n2=n1+n
va fi:
p2=a*b+(1-a)*p
unde a=[2*n+2]/(2^n)=prob ca grupul nou adugat ( de n oameni ) sa nu se
abtina
b=n/(n+1) prob ca , in cazul in care nu se abtine , grupul nou adugat
sa
raspunda corect
fixam n ( numarul de oameni din grupul care se adauga )
avem p(k) prob de castig dupa ce au fost adaugate k grupuri de n oameni
p(k)=a*b+(1-a)*p(k-1)
punem conditia ca p(k)>p(k-1) deci
a*b+(1-a)*p(k-1)>p(k-1) <=> b>p(k-1) ceea ce se poate asigura alegand n
destul de mare
deci putem face ca sirul sa fie crescator , este clar ca e marginit
deci are
limita
calculam limita ( n fixat , k->inf ):
lim(p(k))=a*b+(1-a)*lim(p(k-1))
lim=a*b+(1-a)*lim => lim=b , deci oricare ar fi eps>0 putem sa aplicam
un nr
finit de pasi k astfel incat p(k)>b-eps
cum b->1 cand n->inf putem sa aratam ca oricare ar fi eps>0 exista un
nr de
oameni pt care prob de castig > 1 - eps
pt a demonstra pornim de la 3 oameni ( 3/4 sansa de castig ) si adaugam
grupuri de n oameni , n ales astfel incat b> 1-eps/2
cum p(k)->b => ca exista k finit astfel incat p(k)>b-eps/2 deci
p(k)>1-eps
deci prob ->1 cand n->inf.
E clar ca prob(n)>=prob(n-1) si ca prob(n)->1 dar trebuie gasita
strategia
care da sansa maxima.
Viorel
PS: Acum e 11 PM si e ff posibil sa fi scris vreo aberatie :))
Privacy Policy-
Terms of Service
-
Guidelines
Copyright © 1994-2001
Yahoo! Inc. All rights reserved.