\vspace*{-0.6cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Réseaux Conditionnels Gaussiens (RCGs)}\label{CGs}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace*{-0.2cm}

Les n{\oe}uds dans un RB peuvent être modélisés par une fonction de distribution gaussienne, que l'on appelle aussi distribution Normale. Toutes les distributions gausiennes peuvent être definies par deux paramètres: la moyenne ($\mu$) et la variance ($\sigma^2$) respectivement. De même, chaque n{\oe}ud continu peut avoir une distribution gaussienne pour chaque configuration de ses parents discrets. Si un n{\oe}ud continu a pour parents un ou plus d'un n{\oe}uds continus, la moyenne peut être linéairement dépendante  des états de ses parents continus. C'est l'idée fondamentale qui est sous-jacent dans les RCGs \cite{599407}. On doit noter que les n{\oe}uds discrets ne peuvent pas avoir de parents continus.

Une proprieté remarquable des RCGs est celle d'offrir une ossature où l'exactitude dans l'inférence est garantie. Un autre avantage des RGs est le fait qu'ils ont seulement besoin de $\mathcal{O}(n^2)$ paramètres pour modéliser un graphe complet.

En général, chaque n{\oe}ud va enregistrer une fonction de densité locale (modèle de régression linéaire), où la distribution pour une variable continue $X$ avec des parents discrets {\boldmath$Y$} et aussi continus $\mathbf{Z}=\{Z_1,\ldots,Z_{s}\}$ (étant $s$ le nombre de parents continus) est une distribution gaussienne unidimensionnelle couvrant les états de ses parents \cite{DeGroot}:
\vspace*{-0.5cm}
\begin{equation}\label{densityf}
f(X| \mathbf{Y} = y,  \mathbf{Z} = z;\Theta) = {\cal N} (x:\mu_{X} (y) + \sum_{j=1}^{s}b_{XZ_j}(y)(z_j-\mu_{Z_j}(y)), \sigma_{X| \mathbf{Z}}^2 (y)) 
\vspace*{-0.3cm}\end{equation}
\vspace*{-0.7cm}

%où:\\ %\cite{DeGroot}
\begin{itemize}\setlength{\itemsep}{-10pt}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
 \item $\mu_{X}(y)$ est la moyenne de $X$ avec la configuration $Y=y$ de ses parents discrets.\\
 \item $\mu_{Z_j}(y)$ est la moyenne de $Z_j$ avec la configuration $Y=y$ de ses parents discrets.\\ 
 \item $\sigma_{X| \mathbf{Z}}^2 (y)$ est la variance conditionnée à $X$ sur ses parents continus $ \mathbf{Z}$ et aussi selon la configuration $Y=y$ de ses parents discrets.\\
 \item $b_{XZ_j}(y)$ est un terme de régression qui individuellement mesure la force d'une liaison entre $X$ et chaque parent continu (ce sera $0$ si il n'y a pas un arc entre eux).
\end{itemize}

Les paramètres locaux sont donnés par $\Theta = (\mu_X(y),b_X(y),\sigma_{X|\mathbf{Z}}^2(y))$, où $b_{X}(y) = (b_{XZ_1}(y),\ldots,b_{XZ_{s}(y)})^t$ est un vecteur colonne.

Ainsi, si l'on focalise sur le cas bivarié, où la variable $X$ est uniquement conditionnée par une variable continue $Z$ plus le variable discrète mentionnée, la variance conditionnelle et le terme de régression peuvent être facilement obtenus, comme le montrent les équations \ref{muchas-} et \ref{muchas} \footnote{Les estimation dans les équations \ref{muchas-} et \ref{muchas} ont été obtenues en travaillant avec la valeur de $\sigma_{X|Z}^2(y)$ et $b_{XZ}(y)$ quand l'inverse de la matrice de précision ($W^{-1}$) et la matrice de covariance ($\Sigma$) à partir du RG sont appairées:
{\scriptsize
\[
W^{-1}= \left( \begin{array}{cc}
            \sigma_{Z}^2(y)               & b_{XZ}(y)\sigma_{Z}^2(y) \\
            b_{XZ}(y)\sigma_{Z}^2(y)      &\ \  \sigma_{X|Z}^2(y) + b^2_{XZ}(y)\sigma_{Z}^2(y)     
           \end{array}
    \right)
 = \left( \begin{array}{cc}
            \sigma_{Z}^2(y)               & \sigma_{XZ}(y) \\
            \sigma_{XZ}(y)      & \sigma_{X}^2(y)     
           \end{array}
    \right) = \Sigma
\]
}
 }:
\vspace*{-0.1cm}
\begin{align}
\sigma_{X|Z}^2(y) &= \sigma_{X}^2(y) - b_{XZ}^2(y) \sigma_{Z}^2(y) \label{muchas-} \\
b_{XZ}(y) &= \frac{\sigma_{XZ}(y)}{\sigma_{Z}^2(y)} \label{muchas}
\end{align}


%\vspace{0.5cm}

\drop{
La figure \ref{Rg} montre un exemple de factorisation de la fonction de densité dans une structure SPODE, comme dans le modèle dessiné à gauche. Si l'on suit la notation antérieure, dans ce cas $b_{X}(y) = b_{XZ}(y)$, puisqu'il y a seulement une variable continue.


\begin{figure*}
   \fbox{
         \begin{minipage}[t]{4.0cm}
		\vspace{0.08cm}
		\begin{changemargin}{0.2cm}{0cm}
		\tiny{
		\hspace{1.5cm}  \textbf{Structure}
		}
		%\vspace{0.2cm}
		\tiny{
		\psset{mnode=circle}
		\begin{flushleft}
			\begin{psmatrix}[rowsep=7mm,colsep=2mm,radius=2cm]
				&              [name=C]\footnotesize{$C$}             &          &[name=Aj]$A_j$  \\ [0pt]
			[name=X1]$A_1$&[mnode=none]$\ldots$&[name=Xi]$A_i$&[mnode=none]$\ldots$ & [name=Xn]$A_n$   
			\psset{arrows=->,arrowscale=2}
			\ncline{C}{X1}
			\ncline{C}{Xn}
			\ncline{C}{Aj}
			\ncline{C}{Xi}
			\ncline{Aj}{X1}
			\ncline{Aj}{Xn}
			\ncline{Aj}{Xi}
			%\ncbox[linearc=.3,boxsize=.5,linestyle=dashed,nodesep=.1]{C}{Aj}
			\end{psmatrix}
		\end{flushleft}  
		}
		\end{changemargin}
         \end{minipage}	

	\begin{minipage}[t]{7.5cm}
		\tiny{
		\begin{center}
		\vspace{0.23cm}
 	 	\hspace{0.3cm}\textbf{Local densities}
		\end{center}
		}
		\tiny{
		\vspace{-0.9cm}
		\begin{changemargin}{-0.2cm}{0cm}
		\begin{flushleft}
	 	\begin{align*}
 			\Theta_c &= (CPT)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f_{C} \rightsquigarrow P(C) \\
			\Theta_j &= (\mu_j(c),-,\sigma_j(c))\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f_{A_j|C=c} \rightsquigarrow {\cal N}(\mu_j(c),\sigma_j(c)) \\
			\Theta_1 &= (\mu_1(c),b_1(c),\sigma_{1|j}(c))\ \ \ \ f_{A_1|C=c,A_j=a_j} \rightsquigarrow {\cal N}(\mu_1(c)+\\
			&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + b_{1j}(c)(a_j-\mu_j(c))),\sigma_{1|j}(c))\\
			\Theta_i &= (\mu_i(c),b_i(c),\sigma_{i|j}(c))\ \ \ \ \ f_{A_i|C=c,A_j=a_j} \rightsquigarrow {\cal N}(\mu_i(c)+\\
			&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +b_{ij}(c)(a_j-\mu_j(c))),\sigma_{i|j}(c))\\
			\Theta_n &= (\mu_n(c),b_n(c),\sigma_{n|j}(c))\ \ \ f_{A_n|C=c,A_j=a_j} \rightsquigarrow {\cal N}(\mu_n(c)+\\
			&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +b_{nj}(c)(a_j-\mu_j(c))),\sigma_{n|j}(c))\\			  
		\end{align*}
		\end{flushleft}
		\end{changemargin}
		}
		\begin{flushleft}
		\vspace{-0.5cm}
		\begin{changemargin}{-5.2cm}{0cm}
		 \tiny{
		\hspace{5cm}\textbf{ Factorization of the joint density function}
		}
		\vspace{-0.1cm}
		\tiny{
		\begin{displaymath}
 			\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f(c,a_j,a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_n) = f(c)f(a_j|c)f(a_1|c,a_j)\cdots f(a_i|c,a_j)\cdots f(a_n|c,a_j) =
		\end{displaymath}
		\begin{displaymath}
		 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p(c)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_j(c)}e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{a_j-\mu_j(c)}{\sigma_j(c)} \right)^2}
			\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{1|j}(c)}e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{a_1-(\mu_1(c)+b_{1j}(a_j-\mu_j(c)))}{\sigma_{1|j}(c)} \right)^2} \cdots
		\end{displaymath}
		\begin{displaymath}
			\cdots \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{i|j}(c)}e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{a_i-(\mu_i(c)+b_{ij}(a_j-\mu_j(c)))}{\sigma_{i|j}(c)} \right)^2} \cdots
			\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{n|j}(c)}e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{a_n-(\mu_n(c)+b_{nj}(a_j-\mu_j(c)))}{\sigma_{n|j}(c)} \right)^2} 
		\end{displaymath}
		}
		\end{changemargin}
		\end{flushleft}
		\vspace{0.1cm}
		
	\end{minipage}
	
   	}
	\caption[Factorisation d'exemple de la fonction de densité conjointe dans un RG]{Structure, densités locales et résultat de la factorisation de la fonction de densité conjointe dans un réseaux avec structure SPODE où tous les attributs prédictifs sont continus.}
	\label{Rg}
\end{figure*}

}

%Equation \ref{densityf} has been obtained following the guidelines in \cite{naga99optimization} and \cite{Neapolitan}. However, in the Hugin tool \cite{85336}, the estimation of the Gaussian distribution of interest, is carried out in a slightly different way. In the estimation of the final mean for the CGN, Hugin does not take into account the means of the continuous parents, and the variance is constant for every state's configuration of the discrete parents. Hence, the corresponding equation according to Hugin principles would be as follows:


%\begin{equation}\label{e7}
%f(X| \mathbf{Y} = y,  \mathbf{Z} = z;\Theta) = {\cal N} (x:\mu_{X} (y) + \sum_{j=1}^{s}b_{XZ_j}(y)z_j, \sigma_{X}^2 (y))
%\end{equation}


%On the other hand, in \cite{PLI2} the authors consider equation \ref{densityf} but the variance for the CGN is constant for every state's configuration of the discrete parents. 


