Aritmetică, geometrică, armonică Inegalitatea mediilor și calculul radicalilorLucian Ilea, Iulian Pah
Acest articol își propune să prezinte o metodă de aproximare a radicalilor folosind cunoscuta inegalitate dintre media aritmetică, cea geometrică și cea armonică.
Rădăcina pătrată Este cunoscută următoarea proprietate:
Dacă a,b Î și , , , a Ł b, atunci a Ł mh Ł mg Ł ma Ł b (inegalitatea mediilor). Mai puțin cunoscut, dar ușor de verificat este faptul că Semnificația acestei inegalități este de restrângere a intervalului inițial [a, b] în care se află . Acest interval se restrânge pas cu pas, conducând, în final, la o aproximare pentru . Pentru a calcula , x Î (0, 1) se aplică procedeul de mai sus pentru intervalul inițial [x, 1]. Dacă x > 1, se calculează și apoi se inversează. Această metodă necesită un suport intuitiv simplu, familiarizează elevii cu noțiuni de teorie a erorilor (interesează extragerea radicalului cu o foarte bună aproximație, exactitatea fiind imposibilă), erori inerente în reprezentările în virgulă flotantă. Funcția, descrisă în limbajul Pascal, este următoarea:
function radical(x:Real):Real; var a,b,ma,mh:Real; const epsilon=0.00001; begin a:=x; b:=1; while b-a>epsilon do begin ma:=(a+b)*0.5; mh:=(2*a*b)/ma; b:=ma; a:=mh end; radical:=a end; Calculele sunt organizate astfel încât numărul de operații de înmulțire și împărțire să fie cât mai mic. Se poate demonstra și corectitudinea metodei (convergența șirului de intervale). De fapt această metodă nu este decât o deghizare a metodei tangentei, fără a utiliza operația de derivare și cu un criteriu de oprire sugestiv.
Rădăcina de ordinul n Procedeul poate fi extins pentru calculul lui cu 0 < x < 1. Inegalitatea mediilor se scrie astfel:
Media geometrică a numerelor a1, a2, ..., an este și media geometrică a numerelor
Cu excepția primului număr, toate celelalte n - 1 numere sunt media aritmetică a numerelor a1, a2, ..., an. Inițial considerăm a1 = x, a2 = 1, ..., an = 1. De fapt, din nou, se generează un șir de intervale în care lungimea tinde spre 0. Avem , ceea ce demonstrează convergența spre .
Bibliografie Vasile Pop, Tiberiu Oproiu, Metoda aproximațiilor succesive în matematica elementară, Lucrările Seminarului de Didactica Matematicii, Universitatea Babeș-Bolyai, vol. 13, 1999
Domnul prof. Lucian Ilea este cadru didactic la Liceul "Emil Racoviță" din Cluj-Napoca, iar domnul lect. univ. Iulian Pah este cadru didactic la Universitatea Babeș-Bolyai din Cluj-Napoca. Pot fi contactați prin intermediul redacției. [cuprins] |