Nous étudions dans ce papier la distribution des distances dans les structures des réseaux apolloniens aléatoires (RANS), une famille de graphes en bijection avec les arbres ternaires planaires. En s'appuyant sur l'utilisation de séries génératrices multivariées pour décrire toute l'information sur les distances, ainsi que sur l'analyse de singularités pour évaluer les coefficients de ces séries, nous prouvons une distribution limite de Rayleigh pour les distances vers un sommet externe du RANS et montrons que la distance moyenne entre deux sommets quelconques d'un RANS d'ordre $n$ est asymptotiquement $\sqrt{n}$.