Computing uniform convex approximations for convex envelopes and convex hulls
Résumé
We provide a numerical procedure to compute uniform (convex) approximations {f_{r}} of the convex envelope f of a rational fraction f, on a compact semi-algebraic set D. At each point x in K=co(D), computing f_{r}(x) reduces to solving a semidefinite program. We next characterize the convex hull K=co(D) in terms of the projection of a semi-infinite LMI, and provide outer convex approximations {K_{r}}?K. Testing whether x is not in K reduces to solving finitely many semidefinite programs.
Nous établissons une procédure numérique pour approcher uniformément par une suite de fonctions convexes., l'enveloppe convexe d'une fraction rationnelle ayant pour domaine, D, un ensemble de dimension finie supposée compacte et semi-algébrique. Calculer la valeur d'une approximation en un point donné de K=co(D) se résume à résoudre un programme semi-défini. En suite, nous caractérisons K=co(D) comme projection d'un LMI semi-infini, et en plus nous approximons K par une suite décroissante d'ensembles convexes. Tester si un point donné n'est pas dans K se résume à résoudre un nombre fini de programmes semi-définis.
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