Pour expliquer et motiver la théorie nous allons partir d'un problème concret simple : le contrôle optimal d'un ressort. Cet exemple sera notre fil conducteur, et sera résolu complètement, de manière théorique puis numérique. Dans une première partie, nous nous placerons dans le cas linéaire: c'est le problème de l'oscillateur harmonique, et nous développerons la théorie du contrôle optimal linéaire. Cette partie est rédigée de manière à être accessible avec des connaissances de DEUG ou de classes préparatoires. Dans une deuxième partie nous traitons le cas de l'oscillateur non linéaire et introduisons des outils généraux de théorie du contrôle optimal. Les applications numériques sont effectuées à l'aide du logiciel Maple.