Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple. - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue Bulletin de la SMF Année : 2006

Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple.

Anne Moreau
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 829226

Résumé

The index of a complex Lie algebra is the minimal codimension of its coadjoint orbits. Let us suppose $\g$ semisimple, then its index, ${\rm ind} \; \g$, is equal to its rank, ${\rm rk \; \g}$. The goal of this paper is to establish a simple general formula for the index of $\n(\g^{\xi})$, for $\xi$ nilpotent, where $\n(\g^{\xi})$ is the normaliser in $\g$ of the centraliser $\g^{\xi}$ of $\xi$. More precisely, we have to show the following result, conjectured by D. Panyushev \cite{Panyushev}\,: $${\rm ind \;} \n(\g^{\xi}) = {\rm rk \; \g}-\dim \z(\g^{\xi}),$$ where $\z(\g^{\xi})$ is the center of $\g^{\xi}$. D. Panyushev obtained in \cite{Panyushev} the inequality \hbox{${\rm ind \;} \n(\g^{\xi}) \geq {\rm rg \; \g}-\dim \z(\g^{\xi})$} and we show that the maximality of the rank of a certain matrix with entries in the symmetric algebra ${\cal S}(\g^{\xi})$ implies the other inequality. The main part of this paper consists of the proof of the maximality of the rank of this matrix.
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Dates et versions

hal-00002214 , version 1 (15-07-2004)

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Citer

Anne Moreau. Indice du normalisateur du centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple.. Bulletin de la SMF, 2006, 134 (1), pp.83-117. ⟨hal-00002214⟩
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