Ceci est un cours de mathématiques de niveau L3-M2. Ce document contient un ensemble d'outils mathématiques utilisés couramment par les physiciens. Durant les deux premières années à l'université, on apprend les bases essentielles des mathématiques : calcul différentiel et intégral, algèbre linéaire, équations différentielles linéaires, etc. L'objet de ce cours est d'utiliser ce corpus pour introduire les méthodes mathématiques dites supérieures utilisées pour résoudre les problèmes classiques de la physique. Les mathématiques ne sont pas une collection de méthodes juxtaposées et sans relation : il existe des concepts extrêmement généraux qui nous permettent de porter le même regard sur des notions a priori disparates. Le concept qui reviendra tout au long de ce cours est celui de l'espace vectoriel. Ainsi, tourner un vecteur du plan d'un angle quelconque ou appliquer un opérateur intégrodifférentiel à une fonction sont fondamentalement la même chose ; de même que trouver les valeurs propres d'une matrice ou résoudre une équation à dérivée partielle linéaire. C'est bien pour cela que l'étudiant apprend un tel volume d'algèbre linéaire dans les cours de mathématiques élémentaires. Le plan du cours est le suivant : Après une introduction (un rappel) des espaces vectoriels, nous verrons que les fonctions elles mêmes peuvent être considérées comme des points (des vecteurs) dans un grand espace des fonctions, et que nous pouvons définir des bases orthogonales dans cet espace presque comme on le fait dans l'espace tridimensionnel. Le chapitre suivant est consacré aux séries de Fourier, le premier exemple pratique que nous verrons de bases dénombrables dans l'espace des fonctions sur un intervalle fini. Nous verrons entre autre comment cette base nous permet de résoudre les équations classique de la physique comme celle de diffusion de la chaleur ou des cordes vibrantes. Nous avons souvent affaire à des fonctions définies sur des intervalles infinis. Les transformées de Fourier nous permettent de disposer de bases pour l'espace de ces fonctions. Comme souvent cependant, les infinis posent des problèmes particuliers et nous auront allors à définir les distributions, une généralisation des fonctions qui introduit en mathématique le concept de charge (ou force) ponctuelle si cher aux physiciens. Nous verrons alors le nombre incroyable de problèmes que ces nouvelles méthodes nous permettent d'aborder : de la résolution des équations différentielles à celle d'équations stochastiques (comme le mouvement brownien) en passant par la diffraction par les cristaux etc. Le cousin germain des transformées de Fourier est la transformée de Laplace : nous verrons comment l'utiliser pour tous les problèmes où les conditions initiales sont importantes. Finalement, un complément utile à tous ces outils est la méthode de Green (ou fonctions de Green) qui à nouveau a à voir avec la généralisation des charges ponctuelles : si on connaît l'effet d'une charge (ou d'une force ou ...) ponctuelle, on peut alors facilement calculer l'effet d'une distribution de charge (de force ...). Nous allons revenir sur le concept général d’opérateur intégrodifférentiel. Une rotation ou une homothétie transforment de façon linéaire un vecteur dans un autre. Un opérateur différentiel linéaire comme (\partial_{t}-D\partial_{x}^{2}) fait la même chose pour les fonctions, considérées comme des vecteurs d'un grand espace. Nous savons qu'étudier une application linéaire est toujours beaucoup plus simple dans sa base propre. La même chose est vrai pour les vecteurs et valeur propres des opérateurs. Les transformées de Fourier nous fournissaient une base très particulière bien adapté à certains problèmes de physique, nous verrons d'autres bases comme celle des polynômes orthogonaux et nous généraliserons le calcul des opérateurs. Quelques chapitres sont consacrés aux notions plus avancées qui devront néanmoins être connues des étudiants à la fin de leur Master. Nous abordons le calcul des perturbations, outil indispensable dès que nous tentons la résolution de “ vrai ” problèmes, c'est à dire ceux qui s'écartent un peu des exemples classiques que nous savons résoudre. Par exemple, nous savons résoudre une équation différentielle d'une certaine forme, le calcul de perturbation nous permettra d'obtenir une solution approchée quand la forme change légèrement. Un chapitre est consacré aux calculs des variations qui est une généralisation des problèmes d’extremum à l'espace des fonctions et des fonctionnelles qui y agissent. La plupart des problèmes de physique sont formulée dans ce langage ou gagne à être formulé dans ce langage. Nous aborderons également la théorie des formes différentielles. Souvent ces objets sont enseignés dans le cadre de la théorie des tenseurs et vue comme des tenseurs alternés. Il est cependant beaucoup plus simple de les aborder directement et en donner une image géométrique, surtout que ce sont des objets très simple à manipuler et qui donnent de la cohérence aux divers opérateurs différentiels comme le gradient, rotationnel et divergence. Nous verrons comment certaines lois de la physique comme les équations de Maxwell acquiert une signification géométrique intuitive. La théorie des tenseurs sera également dans un chapitre. Nous nous contenterons essentiellement des tenseurs dans un espace euclidien où il n'y a pas à faire de différence entre les vecteurs et les covecteurs. Enfin un petit chapitre est consacré aux nombres. Nous les manipulons depuis si longtemps que nous avons oublié comment on les a construit. Ce chapitre tente de remédier à cet oubli.