Algorithms and combinatorics on words using S-adic representations
Algorithmique et combinatoire des mots par les représentations S-adiques
Résumé
In combinatorics on words, a classical method to construct infinite words is the substitutive model. It consists in iterating infinitely an operation (a substitution) on an initial letter. The substitutive model has made it possible to create and study infinite words exhibiting some repetitive structures that are still aperiodic. Introduced in the late 1990s, S-adic representations are a classical extension of the substitutive model. In the S-adic model, at each iteration, rather than always iterate a single substitution, one can iterate a substitution chosen in a finite set. S-adic representations were originally established for dynamic purposes, and characterize several classical word families such as Sturmian words, that were not fully captured by the substitutive model. This thesis focuses on the use of S-adic representations for combinatorial and algorithmic purposes. In a first part, I propose an application in the framework of ω-automata theory. The objective is to decide whether a weak ω-automaton accepts a Sturmian word. I develop a method, called automata desubstitution, that solves this question, and gives combinatorial properties of ω-automata accepting a Sturmian word. These methods can be generalized to other substitutive constructions (purely substitutive word, fixed point of a substitution) and to other word families admitting an S-adic characterization. These methods can be used to solve a number of related problems, such as the encoding of a Sturmian word or, in discrete geometry, the reconnection of discrete segments. The second part is devoted to the study of string attractors on bi-infinite words. It is the result of a collaboration with Hellouin and Gheeraert. String attractors come from text compression theory, and are a combinatorial object for measuring the repetitiveness of a word. In the mono-infinite case, only ultimately periodic words admit finite string attractors. We prove that in the bi-infinite case, this result no longer holds: we exhibit and characterize bi-infinite aperiodic words admitting finite string attractors. These are the characteristic Sturmian words, their finite shifts, and their images by aperiodic substitutions. Our methods are based on the S-adic characterization of Sturmian words, and consist mainly in an adaptation of desubstitution to string attractors.In the third and final part, I explore the combinatorial possibilities of S-adic representations in new spaces.I prove that two exotic models of S-adic representations, the Aubrun-Sablik and Baraviera-Leplaideur models, on ℕᵈ and the free monoid on two elements respectively, cannot represent every configuration: they are not universal. Finally, I study a variant of the domino problem, called the X-domino problem, parameterized by a subshift or a family of words X. The aim is to understand the undecidability boundary between one and two dimensions. I focus on the case where X is a minimal subshift, and then explore the case of Sturmian words and squarefree words.
En combinatoire des mots, une méthode classique de construction de mots infinis est le modèle substitutif. Il consiste à itérer infiniment une transformation (une substitution) sur une lettre initiale. Le modèle substitutif a permis de créer et d'étudier des mots infinis possédant des structures répétitives fortes mais non périodiques. Introduites à la fin des années 1990, les représentations S-adiques forment une extension classique du modèle substitutif. Dans le modèle S-adique, plutôt qu'itérer une seule et même substitution, il est possible de choisir une substitution à chaque itération dans un ensemble fini. Les représentations S-adiques ont originellement été établies à des fins dynamiques, et caractérisent plusieurs familles classiques de mots comme les mots Sturmiens qui n'étaient pas complètement capturées par le modèle substitutif. Cette thèse s'intéresse à l'utilisation des représentations S-adiques à des fins combinatoires et algorithmiques.Dans une première partie, je propose une application dans le cadre de la théorie des ω-automates. L'objectif est de décider si un ω-automate faible accepte un mot Sturmien. Je développe une méthode, la désubstitution d'automates, qui permet de résoudre cette question, et de donner des propriétés combinatoires des ω-automates acceptant un mot Sturmien. Ces méthodes peuvent être généralisées à d'autres constructions substitutives (mot purement substitutif, point fixe d'une substitution) et aux autres familles de mots admettant une caractérisation S-adique. Il est possible d'utiliser ces méthodes pour résoudre différents problèmes annexes, comme le codage d'un mot Sturmien, ou, en géométrie discrète, le recollement de segments discrets. La deuxième partie est consacrée à l'étude des pièges à facteurs sur les mots bi-infinis. Elle résulte d'un travail collaboratif avec Hellouin et Gheeraert. Les pièges à facteurs viennent de la théorie de la compression, et sont un objet combinatoire permettant de mesurer la répétitivité d'un mot. Dans le cas mono-infini, seuls les mots ultimement périodiques admettent des pièges à facteurs finis. Nous prouvons que dans le cas bi-infini, ce résultat ne tient plus : nous exhibons et caractérisons les mots bi-infinis apériodiques admettant des pièges à facteurs finis. Il s'agit des mots Sturmiens caractéristiques, de leurs décalages finis, et de leurs images par des substitutions apériodiques. Nos méthodes reposent sur la caractérisation S-adique des mots Sturmiens, et consiste principalement en une adaptation de la désubstitution aux pièges à facteurs. Dans la troisième et dernière partie, j'explore les possibilités combinatoires des représentations S-adiques dans de nouveaux espaces. Je prouve que deux modèles exotiques de représentations S-adiques, les modèles d'Aubrun-Sablik et de Baraviera-Leplaideur, respectivement sur ℕᵈ et sur le monoïde libre à deux éléments, ne peuvent pas représenter toute configuration : ils ne sont pas universels. Enfin, j'étudie une variante du problème du domino, appelée le problème du X-domino, paramétré par un sous-shift ou une famille de mots X. Le but est d'appréhender la frontière d'indécidabilité entre une et deux dimensions. Je m'intéresse au cas où X est un sous-shift minimal, puis j'explore le cas des mots Sturmiens et des mots sans carré.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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