Soit Z une surface de type fini et de caractéristique d'Euler strictement négative. Un courant géodésique sur Z est une mesure de Radon, stable par l'action du groupe fondamentale, sur les géodésiques non- orientées et bi-infinies du revêtement universel de Z. Cette notion a été introduite par F.Bonhaon en 1986 et a depuis eu de nombreuses applications à l'étude de la géométrie des surfaces. On s'intéresse ici à deux applications de cette notion: l'étude de la compactification de l'espace de Teichmüller et les problèmes de comptage de courbes. Le premier chapitre de ce manuscrit est dédié aux définitions et propriétés fondamentales nécessaires. Le chapitre 2 traite de la compactification de Thurston de l'espace de Teichmüller, en particulier, on prouve que la méthode de Bonahon par les courants géodésiques peut être adaptée aux surfaces non-compactes d'aire finie. Ce chapitre démontre aussi des résultats sur les suites de géodésiques aléatoires. Les deux chapitres suivant sont dédiés à des problèmes de comptage de géodésiques. Dans le chapitre 3 on montre que l'on peut compter les arcs d'une surface à bords à l'aide de suites convergentes de mesures sur les courants géodésiques. Puis, le chapitre 4 est dédié aux différentes ouvertures qu'offrent ce manuscrit. La principale étant le comptage des orbites pour l'action des sous-groupes du mapping class group sur les courbes.