Probabilistic and statistical analysis of diffusion systems in presence of noise
Analyse statistique et probabiliste de systèmes diffusifs en présence de bruit
Résumé
This thesis deals with the long-time behavior of stochastic Fokker-Planck equations with additive common noise and presents statistical methods for estimating the invariant measure of multidimensional ergodic diffusion processes from noisy data. In the first part, we analyze stochastic Fokker-Planck Partial Differential Equations (SPDEs), obtained as the mean-field limit of interacting particle systems influenced by both idiosyncratic and common Brownian noises. We establish conditions under which the addition of common noise restores uniqueness if the invariant measure. The main challenge arises from the finite-dimensional nature of the common noise, while the state variable — interpreted as the conditional marginal law of the system given the common noise — operates within an infinite-dimensional space. We demonstrate that uniqueness is restored if the mean field interaction term attracts the system towards its conditional mean given the common noise, particularly when the intensity of the idiosyncratic noise is small. In the second part, we develop a new statistical methodology using kernel density estimation to effectively approximate the invariant measure from noisy observations, highlighting the crucial role of the underlying Markov structure in the denoising process. This method involves a pre-averaging technique that proficiently reduces the intensity of the noise while maintaining the analytical characteristics and asymptotic properties of the underlying signal. We investigate the convergence rate of our estimator, which depends on the anisotropic regularity of the density and the intensity of the noise. We establish noise intensity conditions that allow for convergence rates comparable to those in noise-free environments. Additionally, we demonstrate a Bernstein concentration inequality for our estimator, leading to an adaptive procedure for selecting the kernel bandwidth.
Cette thèse traite du comportement en temps long des équations stochastiques de Fokker-Planck en présence d’un bruit commun additif et présente des méthodes statistiques pour estimer la mesure invariante des processus de diffusion ergodiques multidimensionnels à partir de données bruitées. Dans la première partie, nous analysons les équations différentielles partielles stochastiques de type Fokker-Planck non linéaires, obtenues comme la limite du champ moyen de systèmes de particules en interaction dirigés par des bruits browniens idiosyncrasiques et en présence de bruit commun. Nous établissons des conditions sous lesquelles l’ajout d’un bruit commun promet de restaurer l’unicité de la mesure invariante. La principale difficulté provient de la dimension finie du bruit commun, alors que la variable d’état- interprétée comme la loi marginale conditionnelle du système compte tenu du bruit commun - opère dans un espace de dimension infinie. Nous démontrons que l’unicité est rétablie dès lors que le terme d’interaction du champ moyen attire le système vers sa moyenne conditionnelle (par rapport au bruit commun), en particulier lorsque l’intensité du bruit idiosyncrasique est faible, qui sont des cas typiques de perte d’unicité en l’absence de bruit commun. Dans la deuxième partie, nous développons une méthodologie statistique afin d’approximer la mesure invariante d’un processus de diffusion à partir d’observations bruitées et discrètes de ce même processus. Cette méthode implique une technique de pré-moyennage des données qui réduit l’intensité du bruit tout en conservant les caractéristiques analytiques et les propriétés asymptotiques du signal sous-jacent. Nous étudions le taux de convergence de cet estimateur, qui dépend de la régularité anisotrope de la densité et de l’intensité du bruit. Nous établissons ensuite des conditions sur l’intensité du bruit qui permettent d’obtenir des taux de convergence comparables à ceux des cas sans bruit. Enfin, nous démontrons une inégalité de concentration de type Bernstein pour notre estimateur, ce qui promet de mettre en place une procédure adaptative pour la sélection de la fenêtre du noyau.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|