Pré-Publication, Document De Travail Année : 2023

Critically fixed Thurston maps: classification, recognition, and twisting

Fonctions de Thurston à points critiques fixes : classification, reconnaissance et twisting

Résumé

An orientation-preserving branched covering map $f \colon S^2 \to S^2$ is called a critically fixed Thurston map if $f$ fixes each of its critical points. It was recently shown that there is an explicit one-to-one correspondence between Möbius conjugacy classes of critically fixed rational maps and isomorphism classes of planar embedded connected graphs. In the paper, we generalize this result to the whole family of critically fixed Thurston maps. Namely, we show that each critically fixed Thurston map $f$ is obtained by applying the blow-up operation, introduced by Kevin Pilgrim and Tan Lei, to a pair $(G, \varphi)$, where $G$ is a planar embedded graph in $S^2$ without isolated vertices and $\varphi$ is an orientation-preserving homeomorphism of $S^2$ that fixes each vertex of $G$. This result allows us to provide a classification of combinatorial equivalence classes of critically fixed Thurston maps. We also develop an algorithm that reconstructs (up to isotopy) the pair $(G, \varphi)$ associated with a critically fixed Thurston map $f$. Finally, we solve some special instances of the twisting problem for the family of critically fixed Thurston maps obtained by blowing up pairs $(G, \mathrm{id}_{S^2})$.

Un revêtement ramifié préservant l’orientation $f\colon S^2 \to S^2$ est appelé une fonction de Thurston critiquement fixée si $f$ fixe chacun de ses points critiques. Il a été récemment démontré qu’il existe une correspondance explicite bijective entre les classes de conjugaison de Möbius des fonctions rationnelles critiquement fixées et les classes d’isomorphisme de graphes connexes plongés dans le plan. Dans cet article, nous généralisons ce résultat à l’ensemble de la famille des fonctions de Thurston critiquement fixées. Plus précisément, nous montrons que toute fonction de Thurston critiquement fixée $f$ est obtenue en appliquant l’opération d’éclatement, introduite par Kevin Pilgrim et Tan Lei, à une paire $(G,\varphi)$, où $G$ est un graphe plongé dans $S^2$ sans sommets isolés, et $\varphi$ est un homéomorphisme préservant l’orientation de $S^2$ qui fixe chaque sommet de $G$. Ce résultat nous permet de fournir une classification des classes d’équivalence combinatoire des fonctions de Thurston critiquement fixées. Nous développons également un algorithme qui reconstruit (à isotopie près) la paire $(G,\varphi)$ associée à une fonction de Thurston critiquement fixée $f$. Enfin, nous résolvons certains cas particuliers du problème de twisting pour la famille des fonctions de Thurston critiquement fixées obtenues par éclatement de paires $(G, \mathrm{id}_{S^2})$.

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Dates et versions

hal-04525890 , version 1 (29-03-2024)
hal-04525890 , version 2 (09-04-2026)

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Identifiants

Citer

Mikhail Hlushchanka, Nikolai Prochorov. Critically fixed Thurston maps: classification, recognition, and twisting. 2026. ⟨hal-04525890v2⟩
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